სამეცნიერო სემინარი თემაზე: ექსტრაპოლაციის ამოცანები გრანდ ცვლადმაჩვენებლიან  მორის სივრცეებში

ცვლადმაჩვენებლიანი ფუნქციური სივრცეების შესწავლა დღესდღეობით კვლევის ერთერთ აქტიურ სფეროს წარმოადგენს.   ცვლადმაჩვენებლიანი ლებეგის სივრცეები (VELS)  არის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც შემოიღო ვ. ორლიჩმა 1930 წელს  და შემდგომ განაზოგადეს ი.მუსიელაკმა და ვ.ორლიჩმა. ამ სივრცეებში ჰარმონიული ანალიზის ოპერატორის ასახვის თვისებები განხილულია დ.კრუზ-ურიბეს, ა. ფიორენცას,  ლ. დიენინგის, პ.ჰარიულეხტოს, პ. ჰუსტოს, მ. რუჟიჩკას, ვ. კოკილაშვილის და ა. მესხის  შრომებში. 

გრანდ ლებეგის  სივრცეები შემოიღეს 1990-იან წლებში ტ. ივანიეცმა და ს. სბორდონემ.  მომდევნო წლებში  შესწავლილი იქნა ჰარმონიული ანალიზისა და არაწრფივი დიფერენციალურ განტოლებათა  თეორიის საკმაოდ ბევრი პრობლემა ამ სივრცეებში. გრანდ ცვლადმაჩვენებლიანი ლებეგის სივრცეები   შემოღებულ იქნა ვ. კოკილაშვილის და ა. მესხის მიერ (ასევე დ. ედმუნდსმა, ვ. კოკილაშვილმა და ა. მესხმა გამოიკვლიეს უფრო ზუსტი სივრცეებიც).

მორის სივრცეები  უფრო ზუსტად აღწერს ელიფსური კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნის რეგულარობის საკითხებს, ვიდრე ლებეგის სივრცეები.   კლასიკური მორის სივრცეები    შემოიღო  ჩარლზ მორიმ 1938 წელს  და გამოიყენა კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნის რეგულარობის საკითხებში.

გრანდ ცვლადმაჩვენებლიანი მორის სივრცეები (GVEMს)  შემოტანილი იქნა ვ. კოკილაშვილის და ა. მესხის მიერ, სადაც შესწავლილია  ჰარმონიული ანალიზის ოპერატორთა ასახვის თვისებები (მუდმივმაჩვენებლიანი სივრცეებისთვის იგივე საკითხები თავდაპირველად გამოჩნდა ა.მესხის შრომებში).  რაც შეეხება გრანდ ცვლადმაჩვენებლიან მორის სივრცეებს განხილულს კვაზი-მეტრიკულ ზომად სივრცეებზე არა-გაორმაგებული ზომით შემოტანილი იქნა ტ. ოჰნოს და ტ. შიმომურას მიერ, სადაც დადგენილია  სობოლევის უტოლობა შესაბამისი წილადური ინტეგრალისთვის. თუმცა ამ ნაშრომში არ იყო განხილული ყველა  შესაბამისი ნორმის შეფასებები.

უნდა აღინიშნოს, რომ გრანდ მორის სივრცეებში  ერთწონიანი შემოსაზღვრულობის საკითხი სუბწრფივი ოპერატორებისთვის მათი კომუტატორების ჩათვლით შესწავლილი იყო ვ. კოკილაშვილის,  ა. მესხის  დ ჰ. რაფეიროს მიერ. წონიანი ექსტრაპოლაცია გრანდ ლებეგის სივრცეებში დადგენილია 2016 წელს.

ხოლო უწონო გრანდ მორის სივრცეები  შემოტანილი  და შესწავლილი იქნა უფრო ადრე  ა. მესხის მიერ. მოგვიანებით იგი განაზოგადა  ჰ. რაფეირომ გრანდ გრანდ მორის სივრცეების შემოღებით,  სადაც „გრანდირება“ აღებულია არამარტო  პარამეტრის არამედ  პარამეტრის მიმართაც.

ნაშრომში დადგენილია  სუბწრფივი ინტეგრალური ოპერატორების კომუტატორების შემოსაზღვრულობა გრანდ  ცვლადმაჩვენებლიან მორის სივრცეებში. განხილული სუბწრფივი ოპერატორები მოიცავს  ჰარდი-ლიტლვუდის და წილადურ მაქსიმალურ ოპერატორებს, კალდერონ-ზიგმუნდის ოპერატორებს  და სხვ.,   ანალოგიური პრობლემები გრანდ მორის სივრცეებში გამოკვლეული იქნა ვ. კოკილაშვილის, ა. მესხის და ჰ. რაფეიროს მიერ.