სამეცნიერო პროექტის დასახელება: „მართვის თეორიის საკითხები არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო ამოცანებისთვის და ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები"

გრანტის დაფინანსების წყარო: ბათუმის შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტი

სამეცნიერო პროექტის ხელმძღვანელი: ასოცირებული პროფესორი ვახტანგ ბერიძე

სამეცნიერო პროექტის შემსრულებლები: ასოცირებული პროფესორი ვახტანგ ბერიძე - ძირითადი პერსონალი; პროფესორი დავით დევაძე - ძირითადი პერსონალი; პროფესორი ონისე სურმანიძე - ძირითადი პერსონალი; ასოცირებული პროფესორი გულადი ფარტენაძე - ძირითადი პერსონალი; სტუდენტი ვალენტინა კახაბერიძე - დამხმარე პერონალი.

სამეცნიერო პროექტის განხორციელების ვადა: 02.04.2025 – 15.12.2026

კვლევის სიახლე და აქტუალურობა:

არალოკალური სასაზღვრო და საწყის-სასაზღვრო ამოცანების შესწავლა, მათი ამოხსნის რიცხვითი მეთოდების განვითარება და ანალიზი გამოყენებითი მათემატიკის მნიშვნელოვანი სფეროებია. ძალიან ხშირად გვხდება სხვადასხვა სახის ამოცანები არალოკალური სასაზღვრო პირობებით. არალოკალური სასაზღვრო ამოცანები წარმოადგენენ კლასიკური ამოცანების განზოგადებას და მიიღებიან რეალური პროცესების მათემატიკური მოდელების აგებისას ინჟინერიაში, ეკოლოგიაში, ბიოლოგიაში, სოციოლოგიაში და სხვა დარგებში.

ა. ბიწაძისა და ა. სამარსკის ერთერთ ნაშრომში განხილული იყო ელიფსური განტოლებებისთვის ახალი ტიპის არალოკალური ამოცანა, რომელიც შემდგომში ცნობილი გახდა როგორც ბიწაძე-სამარსკის ამოცანა. მრავალი სამეცნიერო ნაშრომი ეხება ბიწაძე-სამარსკის არალოკალური ამოცანების გამოკვლევას, რიცხვით გადაწყვეტას, მათ მოდიფიკაციას და განზოგადებას. მათ შორის ერთ-ერთი პირველი იყო დ. გორდეზიანის ნაშრომი, სადაც შემოთავაზებული იყო ლაპლასის განტოლების ამონახსნის არსებობის დამტკიცება იტერაციული მეთოდით. ამ ნაშრომში შემოთავაზებული მიდგომით არალოკალური ამოცანა დაყვანილია დირიხლეს კლასიკურ ამოცანებამდე, რაც იძლევა შესაძლებლობას გამოყენებული იქნას ეს მეთოდი ამ ამოცანების რიცხვითი გადაწყვეტისთვის.

ოპტიმიზაციის მრავალ ამოცანაში სიმკვრივის თეორიიდან, დიფუზური პროცესებიდან, მექანიკიდან, ქიმიური რეაქციის კინეტიკის და სხვა სისტემების მდგომარეობა აღიწერება ოპტიმიზაციის დიფერენციალური განტოლებებითა. ამიტომაც ასეთი სისტემის მართვის პრობლემების შესწავლა მეტად საყურადღებოა.

საგრანტო პროექტში დასმული პრობლემები არალოკალური საკონტაქტო ამოცანების კვლევის ახალ ეტაპს წარმოადგენს. კერძოდ კვლევითი საქმიანობა დაგეგმილია შემდეგი მიმართულებებით:

•          არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო ამოცანებისთვის ოპტიმალური მართვის თეორიის ამოცანების დასმა და კვლევა;

•          მაქსიმუმის პრინციპის საფუძველზე ოპტიმიზაციის სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნის რიცხვითი ალგორითმების შემუშავება, ანალიზი, რიცხვითი ექსპერიმენტების ჩატარება და ამონახსნების გრაფიკული წარმოდგენა.

არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო პირობის მქონე ელისფური ტიპის დიფერენციალური განტოლებებისათვის სობოლევის სივრცეში განზოგადოებული ამონახსნების არსებობისა და ოპტიმალური მართვის ამოცანების რიცხვითი ამოხსნის მეთოდების შემდგომი კვლევა წარმოადგენს სიახლეს და აქტუალურია.

კვლევის მიზნები, ამოცანები და კვლევის მეთოდოლოგია:

წარმოდგენილი საპროექტო წინადადებით გათვალისწინებულია ოპტიმალური მართვის ამოცანების კვლევა პირველი რიგის ელიფსური ტიპის განტოლებებისათვის არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო პირობებით. ამ ამოცანისთვის ოპტიმალობის აუცილებელი და საკმარისი პირობების გამოყვანისას შემოდის დამხმარე სასაზღვრო ამოცანა არაკლასიკური სასაზვრო პირობით, რომელსაც შეუღლებულ სასაზღვრო ამოცანას ვუწოდებთ.

აღნიშნული ამოცანებისთვის ჩვენ შევისწავლით შემდეგ საკითხებს:

• ოპტიმალური მართვის ამოცანების კვლევა ელიფსური დიფერენციალური განტოლებებისათვის არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო პირობების შემთხვევაში. ოპტიმალობის აუცილებელი და საკმარისი პირობების მიღება.
• ამ ამოცანისათვის განზოგადოებული ამონახსნის არსებობისა და ერთადერთობის საკითხების შესწავლა სობოლევის სივრცეში.
• ელიფსური განტოლებებისათვის საკონტაქტო სასაზღვრო ამოცანების ამოხსნის ალგორითმების აგება. ამ ალგორითმების შესა­ბამისი პროგრამული მოდულების შექმნა.
• სამოდელო ამოცანების შედგენა, რიცხვითი ექსპერიმენტების ჩატარება და თეორიული შეფასებების შემოწმება. მიღებული შედეგების გრაფიკული და ცხრილური სახით წარმოდგენა.

წრფივი ოპტიმალური მართვის თეორიის ამოცანების ამოხსნის რიცხვითი ალგორითმები დაფუძნებულია მაქსიმუმის პრინციპზე, რომელიც მოცემულია აუცილებელი და საკმარისი პირობების სახით. მაშასადამე, წრფივი ოპტიმალური მართვის ამოცანების ამოხსნის რიცხვითი ალგორითმები დაიყვანება კერძოწარმოებულებიან დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემების ამოხსნაზე, არალოკალური და არაკლასიკური სასაზღვრო პირობებით.

ელიფსური განტოლებებისათვის არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო ამოცანების შესასწავლად განვიხილავთ არალოკალური სასაზღვრო ამოცანების დირიხლეს ამოცანების მიმდევრობაზე დაყვანის ალგორითმს. ეს მეთოდიკა საშუალებას გვაძლევს არა მარტო შევისწავლოთ არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო ამოცანების ამონახსნის არსებობისა და ერთადერთობის საკითხები, არამედ ასევე რიცხვითად ამოვხსნათ ეს ამოცანები. ოპტიმალური მართვის ამოცანებისათვის აუცილებელი და საკმარისი პირობების მიღებისას საჭირო ხდება შესწავლა დამხმარე ამოცანის – შეუღლებული დიფერენციალური განტოლებისა არაკლასიკური სასაზღვრო პირობებით.

სამეცნიერო პროექტის მოსალოდნელი შედეგები:

 პროექტით გათვალისწინებული კვლევისას მოსალოდნელია შემდეგი ძირითადი შედეგები:

• არალოკალური სასაზღვრო პირობების მქონე წრფივი ელიფსური განტოლებებისათვის მიღებული იქნება ოპტიმალობის აუცილებელი და საკმარისი პირობები.
• არაკლასიკური სასაზღვრო პირობებიანი შეუღლებული განტოლებისთვის განვიხილავთ იტერაციულ პროცესს, დავამტკიცებთ იტერაციული მეთოდის კრებადობას.
• შედგენილი იქნება არალოკალური საკონტაქტო სასა­ზღვრო ამოცანების და არაკლასიკური შეუღლებული ამოცანების ამოხსნის ალგორითმები ელიფსური ტიპის დიფერენციალური განტოლებებისათვის.
• მიღებული შედეგები წარმოდგენილი იქნება ცხრილური და ორგანზომილებიანი გრაფიკების სახით.

აღნიშნული შედეგები საინტერესოა როგორც თეორიული, ასევე გამოყენებითი მიმართულებებითაც. პრაქტიკულად საჭირო მრავალი ამოცანის ამოხსნა, რომლებიც დაკავშირებულია ლაზერის გამოსხივების პროცესებისა და ტურბოლენტურ პლაზმაში დიფუზიური პროცესების მოდელირებასთან, მიდის არალოკალურ სასაზღვრო ამოცანებთან. საკმაოდ ხშირად გვხდება არალოკალური სასაზღვრო ამოცანები მათემატიკურ ბიოლოგიაშიც. კერძოდ, ასეთი ამოცანები მიიღება ბიოლოგიურ რეაქტორში მიკრობების პოპულაციის გამრავლების პროცესების მოდელირებისას.